素数はめぐる

素数はめぐる

西来路文朗(さいらいじ・ふみお)
清水健一(しみず・けんいち)

循環小数で語る数論の世界

プロローグ めぐる「142857」

 ここに,ふしぎなふるまいを見せる6桁の数字があります。142857 という何気ない自然数が,単純なかけ算で,面白い現象を見せてくれるのです。
 142857 に,1,2,3,4,5,6 を順にかけてみます。

 

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

 

 この計算で,どのようなことが起こっているでしょうか。
 それぞれの積には 1,4,2,8,5,7 の 6 つの数字しか出てきていません。かけ算をする順序を変えて,

 

142857 × 1 = 142857
142857 × 3 = 428571
142857 × 2 = 285714
142857 × 6 = 857142
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285

 

 と並べ替えてみましょう。鮮やかに規則性が浮かび上がります。
 142857 を順序を変えずに巡回させると 6 通りの数になりますが,その 6 通りの数がすべて現れています。この 142857 の正体は何でしょうか。そして,なぜこのようなことが起こるのでしょうか。
 142857 には,さらにふしぎなことがあります。こんどは,142857 を 142 と 857 に 2 等分して足してみましょう。

 

142 + 857 = 999

 

と答えに 9 が並びます。
142857 に,2,3,4,5,6 をかけてできた数でも,同じ現象が起こります。

 

285 + 714 = 999
428 + 571 = 999
571 + 428 = 999
714 + 285 = 999
857 + 142 = 999

 

 と,すべて和が 999 になっています。
なぜこのようなことが起こるのでしょうか。
 こんどは,142857 を 14 と 28 と 57 に 3 等分して足してみましょう。

 

14 + 28 + 57 = 99

 

 と和に 9 が並びます。
さらに,142857 を 1,4,2,8,5,7 に 6 等分して足してみましょう。9 になるでしょうか。

 

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27

 

となって,残念ながら 9 にはなりません。自然数を 6 個も足すのですから,9 にならないのは自然なことかもしれません。しかし,この足し算をもう 1 回繰り返し,27 の各位の数を足すと,

 

2 + 7 = 9

 

 となります。142857 の 6 等分も 9 に関係しています。
 なぜこのようなことが起こるのでしょうか。
 これらの疑問を出発点として,数のふしぎな世界を探求してみましょう。

 

 

 

※二人の共著による前著『素数が奏でる物語』(講談社ブルーバックス)も好評発売中です。

西来路文朗(さいらいじ・ふみお)

一九六九年、広島県生まれ。大阪大学大学院理学研究科博士課程数学専攻単位取得退学。博士(理学)。専門は整数論。賢明女子学院中学校・高等学校の教諭を経て、現在、広島国際大学工学部住環境デザイン学科教授、広島大学非常勤講師。著書に『Liberal Arts 基礎数学』(京都廣川書店、青木宏光氏との共著)。

清水健一(しみず・けんいち)

一九四八年、兵庫県生まれ。岡山大学理学部数学科卒業。博士(理学)。専門は整数論。賢明女子学院中学校・高等学校の教諭を経て、現在、岡山大学、岡山理科大学非常勤講師。著書に『大学入試問題で語る数論の世界』(講談社ブルーバックス)、『詩で語る数論の世界』(プレアデス出版)がある。

[B2003]

素数はめぐる 循環小数で語る数論の世界

著=西来路文朗,
著=清水健一

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